Cara menentukan fungsi kuadrat yang puncaknya diketahui

0
300

pada artikel kali ini, saya akan membahas tentang cara menentukan fungsi kuadrat dimana titik puncak atau maksimum minimumnya diketahui. dan fungsi tersebut melalui sebuah titik. kita langsung saja ke soal-soalnya.

Soal 1 #

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi $(1,3)$ dan melalui titik $(0,2)$!.

Jawaban:

Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah $f(x)=ax^2+bx+c$

Fungsi kuadrat tersebut melalui titik $(0,2)$, ini kemudian kita substitusi ke bentuk umum fungsi kuadrat, sehingga:

$f(x)=ax^2+bx+c$

$2=a.0^2+b.0+c$

$c=2$

Dalam soal diketahui titik tertinggi atau maksimum adalah berada di titik $(1,3)$. Ini artinya x = 1 dan y = 3. dan rumus untuk menghitung titik tertinggi adalah : $x=\frac{-b}{2a}$, berarti :

$1=\frac{-b}{2a}$

$2a=-b$ atau $b=-2a$.

Ordinat atau nilai y maksimum dari fungsi kuadrat dirumuskan dengan:

$y=\frac{-D}{4a}$

$y=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}$

$y=\frac{-b^2+4ac}{4a}$

$3=\frac{-b^2+4ac}{4a}$

Dari uraian di atas kita mendapat nilai $b=-2a$ dan nilai c =2, ini yang kita substitusi ke rumus terakhir

$3=\frac{-(-2a)^2+4a).2}{4a}$

$3=\frac{-(4a^2)+4.a.2}{4a}$

$12a=-4a^2+8a$

$-4a^2=12a-8a$

$-4a^2=4a$

$a=-1$

Nilai a ini kemudian kita substitusikan ke persamaan $b=-2a$ dan kita mendapatkan nilai b yaitu $b=-2.(-1)=2$.

Jadi, bentuk umum fungsi kuadrat tersebut adalah

$fx=ax^2+bx+c$

$f(x)=-1x^2+2x+2$

$f(x)=-x^2+2x+2$

Terlihat agak panjang dan cukup membingungkan dengan memakai cara di atas. Apakah ada alternatif lain untuk menyelesaikan tipe soal seperti di atas?. Jawabnya: ada. Yaitu dengan memakai persamaan puncak fungsi kuadrat. Bentuk umumnya terlihat seperti di bawah ini:

$y-y_p=a(x-x_p)^2$

Dalam soal puncaknya adalah $(1,3)$, ini artinya $x_p=1$ dan $y_p=3$ dan ini langsung kita substitusi je persamaan di atas

$y-y_p=a(x-x_p)^2$

$y-3=a(x-1)^2$

Fungsi kuadrat tersebut melalui titik $0,2)$ maka x = 0 dan y = 2, sehingga:

$2-3=a(0-1)^2$

$-1=a(-1)^2$

$a=-1$

Setelah mendapat nilai a ini maka kita kembali ke bentuk umumnya:

$y-y_p=a(x-x_p)^2$

$y-3=-1(x-1)^2$

$y-3=-1(x^2-2x+1)$

$y=-x^2+2x-1+3$

$y=-x^2+2x+2$

Dengan cara kedua ini juga menghasilkan nilai atau jawaban yang sama dengan cara pertama. Teman – teman tinggal pilih yang mana mau dipakai.

Baca juga : Fungsi kuadrat & Penentuan nilai maksimum minimum

Soal 2#:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu x di titik $(4,0)$ dan melalui titik $(0,4)$

Jawaban:

Menyinggung sumbu x di titik $(4,0)$ itu artinya titik puncaknya di titik $(4,0)$. Dari sini kita dapatkan bahwa $x_p=4$ dan $y_p=0$. Ini yang kemudian kita substitusikan ke persamaan fungsi kuadrat:

$y-y_p=a(x-x_p)^2$

$y-0=a(x-4)^2$

Melalui titik (0,4) ini berarti x kita ganti dengan 0 dan y kita ganti dengan 4, sehingga:

$4-0=a(0-4)^2$

$4=a(-4)^2$

$4=16a$

$a=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$

Untuk menentukan bentuk umum persamaan kuadrat, kita kembali ke persamaan awal, sehingga:

$y-y_p=a(x-x_p)^2$

$y-0=\frac{1}{4}(x-4)^2$

$y=\frac{1}{4}(x^2-8x+16)$

$y=\frac{1}{4}x^2-8x+16$

Bentuk terakhir ini merupakan bentuk umum dari persamaan kuadrat.

Demikianlah bahasan ini saya buat. Besar harapan saya hal ini bisa membantu teman- teman semuanya. Jika ada saran, kritik maupun pertanyaan, bisa disampaikan di kolom komentar di bawah.

Silahkan tuliskan Komentar teman - teman disini.