Cara menentukan fungsi kuadrat yang puncaknya diketahui

0
37

pada artikel kali ini, saya akan membahas tentang cara menentukan fungsi kuadrat dimana titik puncak atau maksimum minimumnya diketahui. dan fungsi tersebut melalui sebuah titik. kita langsung saja ke soal-soalnya.

Soal 1 #

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi $(1,3)$ dan melalui titik $(0,2)$!.

Jawaban:

Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah $f(x)=ax^2+bx+c$

Fungsi kuadrat tersebut melalui titik $(0,2)$, ini kemudian kita substitusi ke bentuk umum fungsi kuadrat, sehingga:

$f(x)=ax^2+bx+c$

$2=a.0^2+b.0+c$

$c=2$

Dalam soal diketahui titik tertinggi atau maksimum adalah berada di titik $(1,3)$. Ini artinya x = 1 dan y = 3. dan rumus untuk menghitung titik tertinggi adalah : $x=\frac{-b}{2a}$, berarti :

$1=\frac{-b}{2a}$

$2a=-b$ atau $b=-2a$.

Ordinat atau nilai y maksimum dari fungsi kuadrat dirumuskan dengan:

$y=\frac{-D}{4a}$

$y=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}$

$y=\frac{-b^2+4ac}{4a}$

$3=\frac{-b^2+4ac}{4a}$

Dari uraian di atas kita mendapat nilai $b=-2a$ dan nilai c =2, ini yang kita substitusi ke rumus terakhir

$3=\frac{-(-2a)^2+4a).2}{4a}$

$3=\frac{-(4a^2)+4.a.2}{4a}$

$12a=-4a^2+8a$

$-4a^2=12a-8a$

$-4a^2=4a$

$a=-1$

Nilai a ini kemudian kita substitusikan ke persamaan $b=-2a$ dan kita mendapatkan nilai b yaitu $b=-2.(-1)=2$.

Jadi, bentuk umum fungsi kuadrat tersebut adalah

$fx=ax^2+bx+c$

$f(x)=-1x^2+2x+2$

$f(x)=-x^2+2x+2$

Terlihat agak panjang dan cukup membingungkan dengan memakai cara di atas. Apakah ada alternatif lain untuk menyelesaikan tipe soal seperti di atas?. Jawabnya: ada. Yaitu dengan memakai persamaan puncak fungsi kuadrat. Bentuk umumnya terlihat seperti di bawah ini:

$y-y_p=a(x-x_p)^2$

Dalam soal puncaknya adalah $(1,3)$, ini artinya $x_p=1$ dan $y_p=3$ dan ini langsung kita substitusi je persamaan di atas

$y-y_p=a(x-x_p)^2$

$y-3=a(x-1)^2$

Fungsi kuadrat tersebut melalui titik $0,2)$ maka x = 0 dan y = 2, sehingga:

$2-3=a(0-1)^2$

$-1=a(-1)^2$

$a=-1$

Setelah mendapat nilai a ini maka kita kembali ke bentuk umumnya:

$y-y_p=a(x-x_p)^2$

$y-3=-1(x-1)^2$

$y-3=-1(x^2-2x+1)$

$y=-x^2+2x-1+3$

$y=-x^2+2x+2$

Dengan cara kedua ini juga menghasilkan nilai atau jawaban yang sama dengan cara pertama. Teman – teman tinggal pilih yang mana mau dipakai.

Baca juga : Fungsi kuadrat & Penentuan nilai maksimum minimum

Soal 2#:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu x di titik $(4,0)$ dan melalui titik $(0,4)$

Jawaban:

Menyinggung sumbu x di titik $(4,0)$ itu artinya titik puncaknya di titik $(4,0)$. Dari sini kita dapatkan bahwa $x_p=4$ dan $y_p=0$. Ini yang kemudian kita substitusikan ke persamaan fungsi kuadrat:

$y-y_p=a(x-x_p)^2$

$y-0=a(x-4)^2$

Melalui titik (0,4) ini berarti x kita ganti dengan 0 dan y kita ganti dengan 4, sehingga:

$4-0=a(0-4)^2$

$4=a(-4)^2$

$4=16a$

$a=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$

Untuk menentukan bentuk umum persamaan kuadrat, kita kembali ke persamaan awal, sehingga:

$y-y_p=a(x-x_p)^2$

$y-0=\frac{1}{4}(x-4)^2$

$y=\frac{1}{4}(x^2-8x+16)$

$y=\frac{1}{4}x^2-8x+16$

Bentuk terakhir ini merupakan bentuk umum dari persamaan kuadrat.

Demikianlah bahasan ini saya buat. Besar harapan saya hal ini bisa membantu teman- teman semuanya. Jika ada saran, kritik maupun pertanyaan, bisa disampaikan di kolom komentar di bawah.

Silahkan tuliskan Komentar teman - teman disini.