Bukti Persamaan Hiperbola - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Bukti Persamaan Hiperbola

Hiperbola adalah himpunan semua titik (x, y) pada bidang sedemikian hingga selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik fokus (foci) adalah tetap.

Untuk menentukan persamaan hiperbola, misalkan kita pilih titik-titik fokus F dan F’ terletak pada sumbu-x. Sedangkan sumbu-y diletakkan di tengah-tengah segmen garis FF’.

Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F’(-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan selisih jarak konstan tertentu adalah 2a. (lihat gambar di bawah ini).

Also Read:

Jika (x, y) merepresentasikan titik pada hiperbola, maka dari definisi diperoleh

\overline{PF'}-\overline{PF}=2a

\sqrt{\left(x-\left(-c\right)\right)^{2}}-\sqrt{\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}=2a

\sqrt{\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}=\sqrt{\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}+2a

\left(x+c\right)^{2}+y^{2}=\left(x-c\right)^{2}+y^{2}+4a\sqrt{\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}+4a^{2}

x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}+4a\sqrt{\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}

-4a^{2}+4cx=4a\sqrt{\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}

-a+\frac{cx}{a}=\sqrt{\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}

\sqrt{\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}=-a+\frac{cx}{a}

x2 – 2cx + c2 + y2 = a2 – 2cx + \frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}

\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}x2y2 = c2a2

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{c^{2}-a^{2}}=1

Dalam segitiga PFF’ terlihat bahwa

\overline{PF'}<\overline{PF}+\overline{FF'}

\overline{PF'}-\overline{PF}<\overline{FF'}

2a < 2c

a < c

c2a2 > 0

Karena c2a2 adalah positif, maka bisa diganti dengan bilangan positif lain, sebut b2 sehingga

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

dimana b2 = c2a2. Ini merupakan bentuk baku persamaan hiperbola.

Kedua sumbu koordinat – sumbu-x dan sumbu-y adalah sumbu simetri pada hiperbola dan (\pma, 0) adalah titik-titik potong dengan sumbu-x. Dalam hal ini tidak memotong sumbu-y, sebab untuk x = 0 diperoleh

-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

yang mana tidak ada bilangan real y yang memenuhi persamaan di atas.

Sumbu-x (yang memuat dua titik dari hiperbola) disebut sumbu tranversal (transverse axis) dan sumbu-y disebut sumbu sekawan (conjugate axes). Titik potong hiperbola dengan sumbu trasversal disebut titik ujung (dalam hal ini (\pma, 0)) dan perpotongan kedua sumbu simetri disebut pusat hiperbola. Jarak antara kedua titik ujung adalah 2a dan disebut sumbu mayor dan besaran 2b disebut sumbu minor. Dalam hal ini panjang sumbu mayor tidak harus lebih besar dari sumbu minor. Hal ini berbeda pada persamaan ellips. Sketsa grafik persamaan hiperbola \cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 dan posisi titik-titik (\pma, 0), (\pmc, 0), dan (0, \pmb) dapat dilihat pada gambar berikut.

Garis ax \pm by = 0 disebut persamaan garis asimtotik dari hiperbola \cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

 

Teorema 1:

Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus (\pmc, 0) dan titik-titik ujung (\pma, 0) jika dan hanya jika memenuhi persamaan

\cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

dimana b2 = c2a2.

Peranan sumbu-x dan sumbu-y dalam bentuk grafik akan dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 2:

Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus (0, \pmc) dan titik-titik ujung (0, \pma) jika dan hanya jika memenuhi persamaan

\cfrac{y^{2}}{a^{2}}-\cfrac{x^{2}}{b^{2}}=1

dimana b2 = c2a2.

Dari teorema 1 dan 2 di atas, disimpulkan bahwa sumbu mayor sejajar dengan sumbu yang variabelnya berharga positif.

 

Contoh 1:

Selidiki dan buat sketsa grafik dari persamaan \cfrac{x^{2}}{9}-\cfrac{y^{2}}{16}=1

Jawab:

Jika kita perhatikan terlihat bahwa a2 = 9, b2 = 16, dan c2 = a2 + b2 = 25. Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung (\pm3, 0), dan titik fokus (\pm5, 0). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 3x \pm 4y = 0. Panjang sumbu mayor = 6 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 8. Sketsa grafik dapat dilihat pada gambar  dibawah ini.

 

Contoh 2:

Selidiki dan buat sketsa grafik persamaan 16x2 – 9y2 + 144 = 0.

Jawab:

Kita ubah persamaan 16x2 – 9y2 + 144 = 0 ke dalam bentuk baku, yaitu

16x2 – 9y2 + 144 = 0

9y2 – 16x2 = 144

\cfrac{y^{2}}{16}-\cfrac{x^{2}}{9}=1

Dari persamaan terakhir terlihat bahwa a2 = 16, b2 = 9, dan c2 = a2 + b2 = 25. Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung (0, 4), dan titik fokus (0, 5). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 4x 3y = 0. Panjang sumbu mayor = 8 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 6. Sketsa grafik dapat dilihat pada gambar dibawah ini.

 

 

Contoh 3:

Tentukan persamaan hiperbola yang fokus (\pm4, 0) dan titik-titik ujung (\pm2, 0).

Jawab:

Karena fokus yang diberikan terletak pada sumbu-x maka bentuk baku dari persamaan hiperbola yang dicari seperti pada teorema 1.

Dari titik fokus yang diberikan maka diperoleh c = 4, titik ujung diperoleh a = 2 dan b2 = c2a2 = 16 – 4 = 12.

Jadi persamaan yang dicari adalah

\cfrac{x^{2}}{4}-\cfrac{y^{2}}{12}=1

3x2y2 = 12

Untuk memperoleh persamaan hiperbola yang lebih umum, misalkan diadakan translasi pusat sumbu koordinat ke titik (h, k), maka diperoleh persamaan hiperbola \cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 menjadi

\cfrac{\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}-\cfrac{\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}=1

Untuk c2 = a2 + b2, persamaan di atas adalah persamaan hiperbola dengan pusat di (h, k), titik-titik fokus (h \pm c, k) dan titik-titik ujung (h \pm a, k) Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 3:

Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h \pm c, k) dan titik-titik ujung (h \pm a, k) jika dan hanya jika memenuhi persamaan

\cfrac{\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}-\cfrac{\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}=1

dengan b2 = c2 – a2  (lihat gambar di bawah ini ).

 

Teorema 4:

Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h, k \pm c) dan titik-titik ujung (h, k \pm a) jika dan hanya jika memenuhi persamaan

\cfrac{\left(y-h\right)^{2}}{a^{2}}-\cfrac{\left(x-k\right)^{2}}{b^{2}}=1

dengan b2 = c2a2 (lihat gambar  di bawah ini).

Contoh 4:

Sebuah hiperbola mempunyai persamaan

9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0

Tentukan pusat, titik ujung, titik fokus dan gambar grafik hiperbola tersebut.

Jawab:

Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku seperti pada teorema 3 atau teorema 4.

9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0

9x2 – 36x – 4y2 – 8y = –68

9(x2 – 4x + 4) – 4(y2 + 2y + 1) = –68 + 36 – 4

9(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = –36

4(y + 1) 2 – 9(x – 2)2 = 36

\cfrac{\left(y+1\right)^{2}}{9}-\cfrac{\left(x-2\right)^{2}}{4}=1

Dari persamaan terakhir diperoleh informasi h = 2, k = –1, a2 = 9, dan b2 = 4. Dengan demikian c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13.

Menurut teorema 4 dapatlah disimpulkan bahwa hiperbola yang terjadi berpusat di (2, –1), titik-titik ujungnya (2, –1 + 3) = (2, 2) dan (2, –1 – 3) = (2, –4), titik fokusnya adalah (2, –1 +\sqrt{13}) dan (2, –1 – \sqrt{13}).

}
%d blogger menyukai ini: