bentuk umum persamaan parabola - Situs Matematika dan Fisika

Bentuk umum Persamaan parabola

Dengan merujuk pada materi tentang translasi sumbu, jika puncak parabola di titik V dengan koordinat (h, k) maka akan diperoleh persamaan parabola yang lebih umum, dan bentuk baku persamaan parabola akan berturut – turut  menjadi :

(y – k)2 = 4p(x – h) ……………………………(1)

(x – h)2 = 4p(y – k) …………………………..(2)

Also Read:

Persamaan (1) di atas adalah persamaan parabola yang berpuncak di (h, k), dengan titik fokus (h + p, k) dan direktrik x = hp. Sedangkan fokus parabola dengan persamaan (2) adalah (h, p + k) dan direktrik y = kp.

Penjabaran lebih lanjut dari persamaan parabola (1) menghasilkan

(yk)2 = 4p(xh)

y2 – 2ky + k2 = 4px – 4ph

y2 – 4px – 2ky + k2 + 4ph = 0

Secara umum persamaan (1) dapat direduksi dalam bentuk

Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ……………………………. (3)

dengan C dan D tidak sama dengan nol yang menyatakan persamaan parabola dengan sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-x.

dengan sama persamaan (2) dapat direduksi dalam bentuk

Ax2 + Dx + Ey + F = 0 (4)

dengan A dan E tidak sama dengan nol yang menyatakan persamaan parabola dengan sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-y.

Persamaan (3) dan (4) di atas dikenal sebagai bentuk umum persamaan parabola.

Contoh 1:

Tentukan persamaan parabola yang mempunyai fokus di titik (7, 2) dan dengan direktrik garis x = 1. Buat sketsa grafiknya.

Jawab:

Puncak parabola berada di tengah antara fokus dan direktrik. Dengan mudah dapat diperoleh bahwa titik puncak parabola berada pada titik (4, 2). Jadi h = 4 dan k = 2.

Karena direktrik parabola adalah garis x = 1, maka parabola yang dicari bersesuaian dengan persamaan (1) dan berlaku

hp = 1

p = h – 1 = 4 – 1 = 3.

Jadi persamaan parabola bentuk baku yang dicari adalah

(y – 2)2 = 4.3 (x – 4) \Leftrightarrow (y – 2)2 = 12(x – 4)

Parabola diatas dapat direduksi menjadi dalam bentuk umum

y2 – 12x – 4y + 52 = 0.

Sketsa grafik dapat dilihat pada gambar berikut.

 

 

Contoh 2:

Sebuah parabola mempunyai persamaan 3x2 + 6x + 12y = 5

Nyatakan ke dalam bentuk baku, kemudian tentukan puncak, titik fokus dan direktrik dari parabola tersebut.

Jawab:

Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku seperti pada persamaan (2)

3x2 + 6x + 8y = 5

3x2 + 6x = – 8y + 5

3(x2 + 2x) = – 8y + 5

3(x2 + 2x + 1 – 1) = – 8y + 5

3(x + 1)2 – 3 = – 8y + 5

3(x + 1)2 = – 8y + 8

3(x + 1)2 = – 8(y – 1)

(x + 1)2 = – (y – 1)

Dengan membandingkan persamaan ini dengan persamaan (2) maka diperoleh informasi

h = –1,  k = 1

dan

4p = –\frac{8}{3} \Leftrightarrow p = –\frac{2}{3}

Jadi dapatlah disimpulkan bahwa parabola yang terjadi berpuncak di (–1, 1), titik fokusnya adalah (–1, 1 + (–\frac{2}{3})) = (–1, \frac{1}{3} ); dan garis direktriknya

y = 1 – (–\frac{2}{3}) \Leftrightarrow y = \frac{5}{3}

Sketsa grafik dapat dilihat di gambar di bawah !

 

Contoh 3:

Tentukan persamaan parabola yang sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu-y, berpuncak di P(2, 3) dan melalui titik Q(4, 5)

Jawab:

Bentuk baku dari persamaan parabola yang mempunyai sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y dan berpuncak di (h, k) adalah

(xh)2 = 4p(yk)

Karena parabola yang diminta berpuncak di P(2, 3), maka persamaan parabola dalam bentuk

(x – 2)2 = 4p(y – 3)

Titik Q(4, 5) terletak pada parabola, maka berlaku

(4 – 2)2 = 4p(5 – 3)  ⇔   p = ½

Jadi persamaan parabola yang diminta adalah

(x – 2)2 = 4. ½ (y – 3)

x2 – 4x – 2y + 10 = 0

}
%d blogger menyukai ini: