Bentuk Baku dan Bentuk umum Persamaan Lingkaran - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Bentuk Baku dan Bentuk umum Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran, dan jarak tetap dari lingkaran disebut jari-jari (radius). Jadi suatu lingkaran ditentukan oleh dua parameter yaitu titik pusat dan jari-jari lingkaran.

Misalnya kita perhatikan lingkaran yang berpusat di C(h, k) dan dengan jari-jari r (lihat gambar di bawah). Jika P(x, y) adalah sembarang titik pada lingkaran, maka jarak dari titik pusat C(h, k) ke titik P(x, y) adalah r, akibatnya

(xh)2 + (yk)2 = r2 …………………..(1)

Also Read:

L1

Persamaan (1) di atas disebut persamaan lingkaran bentuk baku dari suatu lingkaran yang diketahui letak titik pusat dan jari-jarinya. Koordinat sembarang titik pada lingkaran akan memenuhi persamaan (1), sedangkan koordinat titik-titik di luar lingkaran tidak akan memenuhi persamaan tersebut.

Secara khusus, jika pusat lingkaran adalah titik asal maka persamaan lingkaran yang berjari-jari r adalah

x2 + y2 = r2……………………………… (2)

Contoh :

Tentukan Persamaan lingkaran yang berpusat di (3, – 2) dan jari-jari 6.

Jawab:

Dengan persamaan (1) diperoleh persamaan lingkaran yang dicari yaitu

(x – 3)2 + (y – (–2))2 = 62,

(x – 3)2 + (y + 2)2 = 36.

Persamaan di atas dapat juga dijabarkan dalam bentuk

x2 + y2 – 6x + 4y – 23 = 0

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Meskipun bentuk (1) mudah digunakan untuk melihat pusat dan jari-jari suatu lingkaran, tetapi ada bentuk persamaan lain yang sering digunakan untuk menyatakan sebuah lingkaran yang dinyatakan dalam teorema berikut.

Jika persamaan (1) dijabarkan akan diperoleh bentuk

x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2,

x2 + y2 – 2hx – 2ky + (h2 + k2 r2) = 0.

Ini merupakan bentuk dari

x2 + y2 + Ax + By + C = 0…………………. (3)

di mana :

A = –2h, B = –2k , C = h2 + k2 r2 …………………..(4)

Persamaan (3) disebut persamaan lingkaran bentuk umum. Bentuk ini lebih bermanfaat untuk suatu keperluan dari pada bentuk (1).

Mudah menjabarkan persamaan lingkaran bentuk baku ke bentuk umum. Sebaliknya jika diketahui suatu lingkaran yang berbentuk umum maka juga dapat diturunkan menjadi bentuk baku. Tetapi tidak semua persamaan yang berbentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 akan merepresentasikan suatu lingkaran.

Untuk mengetahui karakteristik persamaan (3) secara umum, kita ubah persamaan tersebut dalam bentuk baku persamaan lingkaran. Jika diketahui persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka

x2 + Ax + y2 + By = –C

x2 + Ax + (½A)2 + y2 + By +(½B)2 = (½A)2 +(½B)2C

(x + ½A)2 + (y + ½B)2 = ¼(A2 + B2 – 4C) (5)

  • Jika ¼(A2 + B2 – 4C) > 0 maka merepresentasikan (3) adalah sebuah lingkaran dengan pusat (–½A, –½B) dan berjari-jari \cfrac{1}{2}\sqrt{A^{2}+B^{2}-C^{2}}.
  • Jika ¼(A2 + B2 – 4C) = 0 maka (3) merepresentasikan sebuah lingkaran yang berpusat di titik (–½A, –½B) dan jari-jarinya nol. Pada kasus ini (3) menyatakan lingkaran titik dengan kata lain suatu lingkaran yang hanya terdiri dari satu titik yaitu titik pusat itu sendiri.
  • Jika ¼(A2 + B2 – 4C) < 0 maka (3) tidak memberikan kurva real. Dalam hal ini (3) dikatakan mempresentasikan sebuah lingkaran imajiner.

Jadi setiap persamaan yang berbentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 merepresentasikan sebuah lingkaran, sebuah titik atau lingkaran titik, atau lingkaran imajiner.

Contoh 1:

Tentukan bentuk umum lingkaran yang berpusat di (4, –6) dan berjari-jari 5.

Jawab:

Menurut (1) bentuk baku dari lingkaran yang berpusat di (4, –6) dan berjari-jari 5 adalah

(x – 4)2 + (y – (–6))2 = 52

x2 – 8x + 16 + y2 + 12y + 36 = 25

x2 + y2 – 8x + 12y + 27 = 0

Jadi bentuk umum lingkaran yang berpusat di (4, –6) dan berjari-jari 5 adalah

x2 + y2 – 8x + 12y + 27 = 0

Contoh 2:

Nyatakan dalam bentuk baku dari x2 + y2 – 8x + 12y + 27 = 0 dan tentukan persamaan merepresentasikan apa.

Jawab:

Menurut persamaan (3) diperoleh A = –8, B = 12, C = 27, sehingga dengan persamaan (5) diperoleh bentuk baku

(x + ½A)2 + (y + ½B)2 = ¼(A2 + B2 – 4C)

(x + ½(–8))2 + (y + ½12)2 = ¼[(–8)2 + (12)2] – 427

(x – 4)2 + (y + 6)2 = 25

Dalam hal ini persamaan di atas merepresentasikan sebuah lingkaran yang berpusat di (4, –6) dan berjari-jari 5

Contoh 3:

Nyatakan dalam bentuk baku dari x2 + y2 + 4x – 6y + 13 = 0 dan tentukan persamaan merepresentasikan apa.

Jawab:

Dengan persamaan (3) diperoleh A = 4, B = –6, C = 13, sehingga dengan persamaan (5) diperoleh bentuk baku

(x + ½A)2 + (y + ½B)2 = ¼[A2 + B2 – 4C]

(x + ½4)2 + (y + ½(–6))2 = ¼[42 + (–6)2 – 413]

(x + 2)2 + (y – 3)2 = 0

Karena dua ekspresi di ruas kiri di persamaan terakhir tidak dapat negatif, maka jumlahnya adalah nol hanya jika kedua ekspresi bernilai nol. Hal ini hanya mungkin untuk x = –2 dan y = 3. Jadi hanya titik (–2, 3) dalam bidang yang memenuhi persamaan asal atau dengan kata lain persamaan itu menyatakan sebuah persamaan lingkaran titik.

Contoh 4:

Nyatakan dalam bentuk baku dari x2 + y2 + 2x + 8y + 19 = 0 dan tentukan persamaan merepresentasikan apa.

Jawab:

Dengan persamaan (3) diperoleh A = 2, B = 8, C = 19, sehingga dengan persamaan (5) diperoleh bentuk baku

(x + ½A)2 + (y + ½B)2 = ¼[A2 + B2 – 4C]

(x + ½2)2 + (y + ½8)2 = ¼[22 + 82 – 419]

(x + 1)2 + (y + 4)2 = –2

Karena dua ekspresi di ruas kiri di persamaan terakhir tidak dapat negatif, maka jumlahnya tidak mungkin negatif, sehingga tidak ada titik di bidang yang memenuhi persamaan itu. Jadi ini merupakan persamaan lingkaran imajiner

}
%d blogger menyukai ini: