Aturan Dasar Menghitung - Situs Matematika dan Fisika - Situs Matematika dan Fisika

Aturan Dasar Menghitung

Marilah kita perhatikan ilustrasi masalah di bawah ini !

Sebuah pabrik membuat kotak wasiat yang dilengkapi dengan kunci rahasia yang terdiri dari 3 angka. Angka ini dipilih dari 0, 1, 2, … , 9, kecuali angka pertama tidak boleh nol. Ketentuan lain, tidak boleh terjadi dua angka sama berurutan. Berapa macam kotak wasiat yang dapat dibuat agar setiap kotak mempunyai kunci rahasia berbeda?.jalan

Masalah di atas merupakan contoh dari masalah yang akan kita bahas di bagian ini. Masalah ini disebut masalah kombinatorik yaitu menghitung banyaknya kombinasi.

Also Read:

Dalam kombinatorik, ada kajian mendasar yang merupakan prinsip dasar dari kombinatorik itu sendiri, yaitu Aturan Dasar Menghitung. Aturan Dasar Menghitung ada dua yaitu :

  1. Aturan dasar Menambah
  2. Aturan dasar Mengalikan

Untuk bahasan kita kali ini, kita hanya membahas aturan dasar yang pertama, yaitu Aturan Dasar Menambah. Apa sih maksudnya Aturan dasar menambah itu?. Kok aneh bin nyeleneh sekali bahasanya ?. Baik mari kita simak ulasan di bawah ini !

  • Aturan Dasar Menambah

Jika kita mempunyai dua himpunan yang tidak mempunyai unsur bersama, maka jumlah anggota dari dua himpunan ini adalah jumlah dari banyaknya anggota dari masing – masing himpunan. Masih bingung kan ?. kita langsung saja ke contohnya !.

Contoh 1 :

Ada dua jalan untuk pergi dari jakarta ke pontianak, yaitu menggunakan yaitu menggunakan kapal terbang atau kapal laut. Untuk kapal terbang ada empat penerbangan, dan kapal laut ada tiga kapal. Berapa banyak cara untuk pergi dari jakarta ke pontianak?

Jawab :

Karena cara bepergian dari jakarta ke pontianak dengan udara dan laut merupakan dua hal terpisah, maksudnya tidak mungkin kita bepergian naik pesawat dan naik kapal laut sekaligus. maka cara penyelesaiannya adalah dengan memakai konsep aturan dasar menambah yaitu banyaknya cara tinggal dijumlahkan, yaitu 4 + 3 = 7 cara.

Sekarang mari kita tinjau contoh soal berikutnya .

Contoh 2 :

Misalkan klub sepakbola dari sekolah mempunyai 40 anggota sedangkan klub bulutangkis mempunyai 20 anggota.

  1. Jika tidak ada anggota sepakbola yang merangkap menjadi anggota bulutangkis, maka banyaknya anggota kedua klub adalah 40 + 20 = 60 siswa. kita dapat mencari jumlah anggota kedua klub hanya dengan menambahkan saja karena kedua himpunan tidak beririsan.
  2. Misalkan ada 7 siswa yang merangkap menjadi anggota kedua klub. Untuk itu kita akan membentuk tiga himpunan yang saling lepas atau tidak beririsan (perhatikan gambar di bawah).
    • Pertama, himpunan atau klub yang terdiri dari pemain sepakbola saja.
    • kedua, himpunan atau klub yang terdiri dari pemain bulutangkis saja.
    • ketiga, himpunan atau klub yang terdiri dari pemain sepakbola sekaligus pemain bulutangkis.

irisan 1

ketiga himpunan ini saling lepas dengan anggotanya masing – masing adalah 40 – 7 = 33 siswa, 20 – 7 = 13 siswa, dan 7 siswa. dengan demikian jumlah anggota dari kedua klub adalah :

33 + 13 + 7 = 53

 irisan

Cara di atas dapat di gunakan untuk membuktikan rumus :

n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)

jika kita menghitung n\left(A\cup B\right) dengan n\left(A\right)+n\left(B\right), maka bagian n\left(A\cap B\right) dihitung dua kali. oleh karena itu faktor n\left(A\cap B\right) dikurangi dari n\left(A\right)+n\left(B\right).

Di atas adalah bukti informal. Sekarang, kita buktikan hal di atas secara formal. perhatikan bahwa A\cup B dapat ditulis sebagai :

A\cup B=A\cup\left(\bar{A}\cap B\right)

dengan \bar{A} adalah komplemen dari A. karena  A dan \left(\bar{A}\cap B\right) saling lepas maka :

 n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(\bar{A}\cap B\right)     …………(1)

irisan3

Demikian pula halnya B=\left(A\cap B\right)\cup\left(\bar{A}\cap B\right) maka n\left(B\right)=n\left(A\cap B\right)+n\left(\bar{A}\cap B\right). Oleh karena itu :

n\left(\bar{A}\cap B\right)=n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)

Gantikan persamaan ini pada suku kedua di ruas kanan pada persamaan (1), maka diperoleh persamaan yang kita inginkan, yaitu :

n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)

Persamaan ini bisa juga dipakai untuk menjawab contoh 2 di atas.

Sekarang kita tinjau masalah berikutnya.

Contoh 3 :

Pada suatu asrama putri, 20 putri berlangganan majalah femina, 17 berlangganan majalah gadis, 13 berlangganan majalah Kartini, 7 orang berlangganan Femina dan Gadis, 5 berlangganan Femina dan Kartini, 4 berlangganan gadis dan kartini dan satu orang berlangganan ketiga majalah. Setiap putri berlangganan sedikitnya satu majalah.

Pembahasan :

Berdasarkan informasi di atas, kita dapat menentukan jumlah anggota dari himpunan F\cap G\cap K yaitu 1.

Berdasarkan ini, dan jumlah putri yang berlangganan majalah Femina dan Gadis yaitu sebanyak 7 putri, kita dapat menentukan jumlah putri yang hanya berlangganan dua majalah saja Femina dan Gadis yaitu sebanyak 6 orang. Dengan cara yang sama, jumlah putri yang berlangganan hanya dua majalah yaitu Femina dan Kartini yaitu 4 orang dan terakhir yang berlangganan gadis dan kartini saja ada 3 orang.

Terakhir, kita dapat menentukan jumlah putri yang berlangganan majalah Femina saja, yaitu :

20 – 4 – 1 – 6 = 9

dan serupa dengan di atas,putri yang berlangganan majalah Gadis saja ada 17 – 3 -1 -6 = 7, dan majalah kartini saja ada 13 – 4 – 1 –  3 = 5.

Berdasarkan hasil ini kita dapat mencari berbagai informasi yang diperlukan, misalkan saja jumlah putri yang ada yaitu :

9 + 7 + 5 + 6 + 4 + 3 + 1 = 35 Putri

Untuk latihan Sekarang coba lihat soal berikut :

Jika A, B, C tiga himpunan, buktikan bahwa n\left(A\cup B\cup C\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)+n\left(C\right)-n\left(A\cap B\right)-n\left(B\cap C\right)-n\left(C\cap A\right)+n\left(A\cap B\cap C\right)

}
%d blogger menyukai ini: