Aplikasi soal dan kegunaan Integral tak tentu

Kegunaan integral tak tentu cukup banyak, diantaranya adalah untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan, jarak, dan waktu.

Perhatikan contoh berikut :

Sebuah molekul bergerak sepanjang suatu garis koordinat dengan persamaan percepatan a(t)= -12t + 24 m/detik. Jika kecepatannya pada t = 0 adalah 20 m/detik. Tentukan persamaan kecepatan molekul tersebut !

Also Read:

Penyelesaian:

Percepatan molekul a(t) = -12t +24

Sehingga :

$latex v=\int a\textrm{ dt}$

$latex v=\int (-12t+24)\textrm{ dt}$

$latex v=-6t^{2}+24t+C$

pada t=0, vo = 20 m/detik, maka 20 = 0 + 0 + C, C = 20

Jadi, persamaan kecepatannya adalah

$latex v=-6t^{2}+24t+20$

Baiklah teman – teman, untuk memperdalam pemahaman teman – teman akan aplikasi integral tak tentu, mari kita simak contoh soal di bawah ini.

Soal 1

Kecepatan suatu benda bergerak adalah v(t) = 5 + 2t. Jika s’(t) = v(t), dengan s(t) adalah jarak benda pada saat t detik. Tentukan rumus umum jarak benda tersebut!

Jawab :

Persamaan jarak suatu benda di cari dengan mengintegralkan fungsi kecepatan terhadap waktu.

$latex s(t)= \int v(t)\textrm{ dt}$

$latex s(t)= \int (5+2t)\textrm{ dt}$

$latex s(t)=5t+\frac{1}{2}t^{2}+c$

Jadi persamaan rumus umum jarak tersebut adalah

$latex s(t)=5t+\frac{1}{2}t^{2}+c$.

Soal #2 :

Diketahui rumus percepatan

$latex a\left(t\right)=t^{2}+1$

dan kecepatan v(0) = 6. Tentukanlah rumus kecepatan, v(t), jika a(t) = v’(t)!

Jawab :

$latex v(t)=v(0)+\int a\textrm{ dt}$

$latex v(t)=6+\int t^{2}+1\textrm{ dt}$

$latex v(t)=6+\frac{1}{3}t^{3}+t+c$

$latex v(t)=\frac{1}{3}t^{3}+t+6+c$

Soal #3 :

Diketahui turunan fungsi f dinyatakan dengan

$latex f\rhook\left(x\right)=6x^{2}-2x+6$

dan f(2) = -7. maka rumus fungsi tersebut adalah ….

Jawab :

$latex f(x)=\int f'(x)\textrm{ dx}$

$latex f(x)=\int6x^{2}-2x+6\textrm{ dx}$

$latex f(x)=2x^{3}-x^{2}+6x+c$

f(2) = – 7 itu artinya x = 2 dan f(x) = -7

$latex -7=2.(2)^{3}-2^{2}+6.2+c$

$latex -7=16-4+12+c$

$latex c=31$

Jadi rumus fungsi f(x) adalah

$latex f(x)=2x^{3}-x^{2}+6x+31$

Soal #4 :

Gradien garis singgung di tiap titik (x,y) suatu kurva ditentukan oleh rumus f ‘(x) = 3x(2 – x). Jika kurva tersebut melalui titik (-1,0), tentukan persamaannya!

Jawab :

f’(x) = 3x(2 – x)

$latex f\rhook(x)=6x-3x^{2}$

$latex f(x)=\int 6x-3x^{2}\textrm{ dx}$

$latex f(x)=3x^{2}-x^{3}+C$

Melalui titik (-1,0) berarti x = -1 dan y = 0

$latex 0=3.\left(-1\right)^{2}-\left(-1\right)^{3}+C$

0 = 3 + 1 + C

C = – 4

Jadi persamaan kurva tersebut adalah

$latex f(x)=3x^{2}-x^{3}-4$

Soal #5 :

Sebuah kurva y = f(x) melalui titik (2,0). Jika persamaan gradiennya adalah f ‘(x) = 2x – 4, tentukan persamaan kurva tersebut

Jawab :

f’(x) = 2x – 4

$latex f(x)=\int2x-4\textrm { dx}$

$latex f(x)=x^{2}-4x+c$

Melalui titik (2, 0) berarti x = 2 dan y = 0

0 = 4 – 8 + c

C = 4

Berarti fungsi kurva tersebut adalah

$latex f(x)=x^{2}-4x+4$.

Aplikasi soal dan kegunaan Integral tak tentu | Made Astawan | 4.5